吸收論

　　「吸收論」基本上是屬於行為主義觀（Behaviorist Theoris），
以桑代克（Edward L. Thorndike）、斯金納（B. F. Skinner）和新
行為學派的葛聶（Robert Gagne）為代表人物。持吸收論者視數學是
一組事實（facts） 與技能，數學學習之主要目的乃在獲得這些事實
與技能。在行為主義觀點下，強調將數學知識透過工作分析（task 
analysis），有組織、有順序地呈現（傳授）給幼兒，並運用外在的
增強方式來控制學習進度與行為，因此，課程之設計，有非常清晰的
行為目標以為遵行。葛聶在學習要義（Essentials of learning for
 Instruction）一書中就曾指出安排先決必要順序（sequences of 
 prerequisites）是授課計畫的重點工作。在此種情況之下，學習者
通常被視為一個空白的接收器皿，被動吸收或抄襲（copy）知識，因
之巴儒第（Baroody）稱此種學習型態為吸收式學習。

　　此外，吸收論也認為學習數學內容與技能必須要靠不斷地記誦和
練習以強化聯結關係之建立。以學習二數之和為例，學習４＋２＝６
之主要工作乃在形成與建立４、２與６這三個數字間的聯結關係，兒
童必須透過重覆性練習----運用閃示卡、紙筆作業、背誦等，才能「
膠黏」（cement）「４＋２」與「６」於腦中，所以此種理論又稱為
「聯結論」（Association Theory）。基本上，在形成聯結關係時，
「理解」不被視為必要，只要練習與記誦越多，技能與概念就越純熟
穩固，累積的聯結實體也越多。新的技能與概念只是個別孤立地堆積
、存放於既有的知識庫上，而不是與既有的知識結構串聯、整合。當
詢問「４＋２」等於多少時，兒童在他的記憶庫裡尋找與這個問題聯
結的一個答案----「６」。在此種情況之下，「４＋２」的意義無關
緊要，問題的要點是兒童能否正確的聯結，產生正確答案「６」。在
這樣的學習模式中，學習動機是受外在所控制，學習的本身沒有太多
的內在報酬，學習者扮演著被動的角色，集中於刺激、反應的活動中
。



建構論

　　「建構論」是屬於認知心理學的論點，主要代表人物是皮亞傑（
Jean Piaget）與其追隨者卡蜜（Constance Kamii）等人。此外，深
受皮氏影響的數學教育家狄恩斯（Zoltan Dienes） 與認知心理學家
布魯諾（Jerome Bruner） ，在某些觀點上也有類似的看法。基本上
，建構論者認為數學是一組「關係」，這種關係必須由學習者內在心
靈去創造，因此在教學上十分強調理解，認為學習的過程重於結果的
獲得。皮式主要論點為：認知發展是一種個人在環境中為解決認知衝
突，透過同化與調適二種功能以達成均衡的內在自我規制過程；又「
邏輯數學知識」（logico-mathematical knowledge） 之源起非存於
物體也非存於主體，而是二者之間複雜的交互作用，最重要的是學習
者對他自己操作行動的省思（reflect on his own action） 。正如
他所說的：「要了解就必須去發現」（To understand is to invent
），真正要了解某概念或某理論意指這個理論或概念重新被這學習者
所發現，內在心靈的建構才是知識的來源。簡言之，建構論強調在學
習過程中，兒童必須創造自己的內見（insight）與理解。

　　卡蜜延伸了皮亞傑的理論，大力強調數目是屬於「邏輯數學知識
」，是由個人內心所創的「關係」所組成的，非存在於外在實體，實
有別於「社會知識」（social knowledge）之獨斷性與「物理知識」
（physical knowledge）之可觀察性。她指出一般人並未區分這三種
知識，錯以為算術必須由人們傳授灌輸（好像社會知識一樣），完全
忽略了算術的邏輯數學性。至於建構數概念涉及二種關係的合成：次
序（order）與層級包含（class inclusion）；以上這二種關係各存
在於兒童腦中，而非外在可觀察的實體中。

　　建構論者別於吸收論者，在於意識學習者並非是空白接受器皿，
有其既有的認知系統；學習者欲真正理解某一新概念，則必須在心靈
內部將此新概念與現有既存的概念連串互動。換言之，新概念不是僅
僅堆積於舊概念之上，而是與舊概念整合為一關係系統。以學習５＋
５＝１０的加法運算為例，多數兒童在生活中已習得「１隻手是５根
手指，２隻手伸出來就是１０根手指」的非正式算術，這是直覺既有
的想法；若在學習過程中能設法將不熟悉的抽象符號運算：５＋５＝
１０與直覺既有的知識連貫，這樣的學習----創造自己的理解、意義
化自己的學習，才是有意義的學習方式，也才能持久。幼兒能從既有
計數技巧中「發明」演算解題的非正式算數：數全部的（counting 
all）、繼續往上計數（counting on）、與從大數往上數（counting 
on from larger addend） 的加法策略，就是創造自己的理解，意義
化自己的學習。

　　狄恩斯、布魯諾與以皮氏為主的建構論相似之處，在於他們均強
調兒童與環境互動、活躍地參與學習過程的重要性。皮氏將兒童發展
分為四階段：感覺活動期、前運思期、具體運思期、形式運思期，在
未達具體運思期（六、七歲前）的幼兒是透過大量的探索、發現與環
境互動而學習的，誠如他自己說過：「在數學教育上，我們必須強調
行動的角色，特別是幼兒，操作實物的活動對了解算數是無可缺少的
。」。狄恩斯是「狄氏多層算術積木」的發明者，根據其所倡導數學
理論之「動態原則」（The Dynamic Principle） 指出，真正瞭解一
新概念涉及三個順序循環階段：自由遊戲階段、結構性經驗階段、重
行運用階段。在第一個階段是屬於無結構性地探索教具，狄氏認為這
樣的非正式活動是學習過程中一個很自然也很重要的部分。又根據他
所謂的「建構原則」（The Constructivity Principle）指出，兒童
大約在12歲以前是屬於建構思考者，12歲以後才是分析思考者，因此
在12歲以前必須容許以自己經驗為始的一種整體直觀方式來發展他自
己的概念。譬如兒童在玩索過「狄恩司積木」後，從自己直觀經驗而
知一「長條」等於十個小「單位」，一「平面」等於十根「長條」，
一「立方體積木」等於十個「平面」，這是建構性思考，而非分析性
思考。

    
　　布魯諾則認為概念理解有三個層次，第一個是「操作層次」（
Enactive Level），學習涉及了操作活動與直接經驗；第二層次是「
視像層次」（Iconic Level），學習涉及了視覺媒體的運用；最後一
個層次是以抽象符號表達實體的「符號層次」（Symbolic Level）。
以學習２＋４＝６為例，操作層次的學習是指幼兒實際操作２個積木
和４個積木，並把他們合在一起數，得知結果是６個積木。如果幼兒
以看圖片取代實際操作，即為視像層次的學習。如果幼兒能在心裡運
算或以算式２＋３＝５表達一組事物，那麼他就是在符號層次了。布
魯諾概念理解層次論主要在說明概念的演化是始於與環境直接互動，
幼兒必先操作具體實物以發展概念，進而提昇至以抽象符號表達概念
的層次。



吸收論與建構論之爭議評析

　　建構主義者主張邏輯數學知識無法直接傳授，必須由學習者從內
在心靈加以建構。卡蜜是極端的建構主義者，在她設計的數學課程方
案裡絕不援用紙筆作業，甚至不教由右至左的標準演算法（如39＋23
＝？９加３等於１２，寫２進１，加３加２等於６，寫６，答62），
而是讓幼兒透過討論、爭辯，自己去「發明」各式演算方式。此外，
透過各種紙板、骰子、牌卡等數字遊戲，並且在日常生活中討論數字
來加強思考、建構數學關係。

　　近年來，有些研究皮亞傑的認知心理學者也開始注意到極端強調
建構式學習的缺失，他們認為在兒童建構知識的過程中，某些接受式
學習也是必要的。雷斯妮（Resnick） 對皮亞傑所言：「要了解就必
須去發現。」提出了反駁：「雖然兒童能去發明，並不能保證他一定
就能理解。」，例如「他們所發明的錯誤演算程序（減法），它也是
一種心靈思考的結果。但還是錯了，未能真正了解……因此，在其學
習過程中某種介入（intervention）還是必須的。」她指出「想要在
一個皮亞傑的數學方案裡，傳授重要知識」的這種兩難情境，至今仍
未完全解決。金斯保（Ginsburg）也指出：「教育的目的之一是促進
接受性學習，有時學生也須接受一些背誦記憶式的學習，皮亞傑的理
論並未對接受式學習提供合理的解釋。如果老師的教學能促進兒童重
新發現，那麼老師的『教學』（instruction）和『重新發現』（
 reinvention）是有同等價值的。」波斯特（Post）也贊同兒童的數
學教學，應在探索發現式與灌輸式學習間採行一種比較平衡的方式，
並未完全放棄類似吸收論所設定之行為目標，因為在某些情況下，他
們還是頗為有用的。以上這些理論不無道理，事實上若無文化資產的
薰染（例如數的名稱：一、二、三……）與一些反覆練習，兒童就不
會建構出計數法則與實用算術了。

　　吸收論與建構論爭論之主要癥結在於吸收論視算術為一組技能，
而建構論視算術為一組心靈所創的關係，因此在教學上，前者強調程
序性技能的獲得（結果），後者則偏重概念的理解（過程）。換言之
，吸收論關心的是兒童學什麼（What children learn） ，建構論關
心的是兒童如何學習（How children learn）。其實吾人若能採傅門
與卜佛（Forman＆Putfall） 之論點，把技能也視為高度認知性，將
思考植入程序性技能的學習中，二者之爭自能迎刃而解。正如葛來塞
（Glaser）所言，在發展數學能力時，技能與概念理解必須扮演重要
的互動角色。此即希伯特和雷佛瑞（Hiebert＆Lefevre）所建議：概
念性與程序性知識必須相互聯貫。

　　美國數學教師協會於近年來曾編訂了數學課程與評鑑標準，揭示
了今後數學課程應以「概念為取向」的基本立論（National Council 
of Teachers of Mathematics，1990）。所謂以概念為取向的課程，
除了強調概念的理解外也著重技能的獲得，重要的是技能必須是以一
種讓兒童能夠理解，覺得有道理、有意義（making sense）的方式來
獲得；因此在教學上兒童必須活躍地「做」（do）數學，以學習各項
數學技能與內容。換言之，吾人必須儘量寓教學於解決問題(problem 
solving)與生活情境中，讓兒童透過與物理世界、教具、同儕和老師
的互動中去建構、整合、修正概念和技能，以意義化他的學習。教師
所扮演的是一觸媒者的角色：聆聽兒童的想法、提供刺激性思考問題
、指引方向；其「教學講授」是建立在促進兒童「知識建構」的前題
下，而非一味地灌輸、填鴨。此項基本立論實指引了數學教育者今後
應努力的方向。